实数集包括什么哪些数字,实数集包括什么哪些数字举例

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由于有理数已表明是可数的，人们可能猜想任何无限集都是可数的。可是情况远非如此。康托有一个极有意义的发现：全体实数集（有理数和无理数）是不可数的。

换句话说，全体实数与整数或有理数相比有一个根本的不同，可以说，它是更高一级的类型的无限。关于这个事实康托用反证法天才的给出了一个证明，它是许多数学论证的典范。

为了做到这一点，我们假设全体实数是可数的并且已经把它们排列成一个无限十进制小数的表：

第一个数 N1.a1a2a3a4a5…

第二个数 N2.b1b2b3b4b5…

第三个数 N3.c1c2c3c4c5…

……

其中这些N表示整数部分，小写的字母表示小数点后的数码。我们假设这个十进制小数序列包涵了所有实数。现在，证明中最根本的一点是，通过对角线过程构造一个新的数。而我们能说明它不包涵在这个序列中。

为此，我们首先选一个数码a不同于a1，也不等于0和9，然后选择一个数码b不同于b2，也不等于0和9，同样的，c不等于c3，等等。

现在考虑无限十进制小数

z=0.abcde…，

这新的数z肯定不同于上表中的任何一个数，。这说明我们按序排列的十进制小数表不包含所有的实数。因此实数集不可数。

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