正比例反比例窍门简单，正比例反比例窍门简单易懂

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中考几何压轴 14辅助线法则 终极经典解析 求线段比的方法

这一系列，不限专题，解析系列经典几何题，提高几何分析解决问题能力。

题17. 《建立相关线段表达式》

如图，△ABC中，AC∶BC＝7∶8，BD∶AB＝1∶2，且∠C＝2∠DAB，求BD∶BC的值。

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〖一般性提点〗

已知各种线段比，求未知线段比，往往需要诸多相似关系进行线段比的转换，最终达到目的。这中间很容易引起逻辑上的混乱。

为避免上述混乱，可通过设立必要的未知数，然后基于几何知识，建立方程。基于这样的逻辑主导思想，避免混乱。

〖题目分析〗

由已知条件，设AC＝7，BC＝8；BD＝λ，AB＝2λ。

关于未知数的设立：

依题设，三角形仅在相似意义上确定。也就是线段比不变，线段绝对长度可变。设AC＝7，意即7个单位，与之相关的线段均可在此意义上设置，例如BD＝λ，即λ个单位，这个是未知数。当然，你也可以设AC＝7a之类，这样也没有问题，但不必要。

由题设，首先可做的唯有∠C的平分线，设分别交AB、AD于E、F。由角平分线定理，可设AF＝7n，DF＝(8＋λ)n。

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连接BF，∵定线段BF同侧∠BCF＝∠BAF＝θ，∴A、C、B、F四点共圆。进一步的角度分析示于图中。易见，BF＝AF＝7n。

这样，四边形ACBF四个边“已知”，AB＝2λ，若获得CF的信息，就可由“托勒密定理”建立方程。

从角度分析，△CFD∽△ABD（AA），

∴ CF∶AB＝DF∶BD，代入相关数据（见图）可解得：

CF＝2(8＋λ)n

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∵ACBF四点共圆，由托勒密定理（对角线之积＝两对边之积的和）：

AB·CF＝AF·BC＋BF·AC

代入各线段表示式，整理得关于λ的一元二次方程：

4λ2＋32λ－105＝0,

或：

(2λ＋31) (2λ－5)＝0，

得λ＝5/2；

于是

BD∶BC＝5∶16.

—–

如果你不知道托勒密定理也没关系，可以从相似三角形去建立关于未知数的方程。更详细的角度分析见图。

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因为AB＝2λ，而λ为所欲求，∴基于AB＝AE＋BE来建立方程：

△ACE∽△FCB：

AE∶BF＝AC∶CF，得

AE＝49/[2(8＋λ)]

△BCE∽△FCA：

BE∶AF＝BC∶CF，得

BE＝56/[2(8＋λ)]

∴2λ＝105/[2(8＋λ)]，可解得λ。

——

无论是托勒密方法还是后边的相似三角形方法，基本思想都是：

[1]. 基于相似（有时也基于Rt三角形），建立各相关线段表达式；

[2]. 将线段表达式代入关于线段的恒等式：本题这个线段恒等式或是托勒密定理，或者是整体线段等于部分之和（AB＝AE＋BE）。后者适用更加广泛。

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